高中数学必修1主要内容

集合的概念与运算

子交并补的运算

二次不等式，绝对值不等式

函数的概念

函数的解析式

函数的表示法

函数的奇偶性

函数的积偶性

函数的综合运用

函数的凸凹性及函数小结

指数幂的运算、指数函数

指数的综合运用

例1.求值域$f(x)=$

例2.求值域$f(x)={3}^{x^2-2x+3}$

例3.讨论方程$|2^x-1|=a$根的个数

要讨论是因为a是个不知道的数，初中求$x^2+1=x+5$的做法是求两个方程的交点个数

分别画出等号两边图像

下面来讨论一下根的个数问题，a<0，方程没有根;a=0,方程一个根；0<a<1,方程两个根;a=1,方程一个根。

4.${(2\cfrac{1}{4})}^{\cfrac{1}{2}} - {(-9.6)}^ 0 - {(3\cfrac{3}{8})}^{\cfrac{2}{3}} + (1.5)^{-2}$

5.设$x^{\cfrac{1}{2}} + x^{-\cfrac{1}{2}}=3$,求$x+x^{-1}$

平方展开

对数运算、对数函数

对数基本概念

$y=log_{a}x$ $\Rightarrow$ $a^y=8$

$log_2{8}=3$

$log_4{16}=2$

运算规则

$log_a{M}+log_a{N}=log_a{MN}$

$log_2{4}+log_2{8}=log_2{32}=5$
$log_a{M}-log_a{N}=log_a{\frac{M}{N}}$
$log_{a^m}{b^n}={\frac{n}{m}}log_a{b}$

带次数的情况下，可以提

$log_{\sqrt2}{8}=log_{2^{\frac{1}{2}}}{2^3}=\frac{3}{\frac{1}{2}}log_2{2}=6$
换底公式

$log_a{b}=\frac{log_c{b}}{log_c{a}}$

$log_{10}x=lg{x}$

$lg100=log_{10}{100}=2$

$y=log_e{x}=lnx$ ，$e\approx 2.78$

$ln1=0$

$lne^2=log_e{e^2}=2$

练习

例1.$2^{1+\frac{1}{2}log_2{5}}$

=$2^1 \times 2^{\frac{1}{2}log_2{5}}$

=$2 \times 2^{log_2{5^{\frac{1}{2}}}}$

=$2 \times 2^{log_2{\sqrt5}}$

=$2\sqrt5$

例2.$(\frac{1}{3})^{2log_{\frac{2}{3}}{2}}$

=$(\frac{1}{3})^{log_{\frac{2}{3}}{4}}$

例3.$a=log_3{10}$,$b=log_3{7}$,则$3^{a-2b}$=?

根据以上等式可得出

$3^a=10$,$3^b=7$，$3^{a-2b}=\frac{3^a}{3^{2b}}=\frac{3^a}{(3^b)^2}=\frac{10}{49}$

对数运算1

题:$log_7{[log_3{(log_2{x})}]}=0$,$x^{-\frac{1}{2}}$的值

解：把上面的看作整体，$log_7{x}=0$,则x=1,即$log_3{(log_2x)}=1$,$log_2{x}=3$,x=8;

$x^{-\frac{1}{2}}=8^{-\frac{1}{2}}={(8^\frac{1}{2})^{-1}}=(2\sqrt2)^{-1}=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}$

题:$log_7{(log_3{x})}=-1$,x=?

题:$log_x{(2+\sqrt3)}=-1$，x=?

题:$log_{(1-x)}{(1+x^2)}=1$,x=?

有两根，舍去一个

题:$log_2{(x^2-2)}=0$

题:$lg8+3lg5=?$

解:$lg8+3lg5=lg8+lg{125}=lg{1000}=3$

方程$2^{log_3{x}}=\frac{1}{4}$的根为

解:$2^{log_3{x}}=2^{-2}$

$log_3{x}=-2$

$x=\frac{1}{9}$

题:$(lg5)^2+lg2 \times lg5+lg20=?$

$=lg5 \times lg5 + lg2 \times lg5 + lg20$

$=lg5 \times (lg5+lg2) + lg20$

$=lg5 \times lg10 + lg20$

$=lg5 \times 1 + lg20=lg100=2$

题:$lg{\sqrt5}+lg{\sqrt20}$

$=lg{\sqrt100}=lg10=1$

$\frac{1}{2}lg{\frac{32}{49}}-\frac{4}{3}lg{\sqrt8}+lg{\sqrt{245}}$

答案:$\frac{1}{2}$

逐个化简

过程:

第一个化简=$\frac{1}{2}(lg32-lg49)=\frac{1}{2}(lg2^5-lg7^2)=\frac{1}{2}(5lg2-2lg7)=\frac{5}{2}lg2-lg7$

第二项化简=$\frac{4}{3}lg8^{(\frac{1}{2})}=\frac{4}{3}lg{(2^3)^ \frac{1}{2}}=\frac{4}{3} \times \frac{3}{2}lg2=2lg2$

第三项=$lg245^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}lg{(5 \times 49)}=\frac{1}{2}{[lg5+lg49]}=\frac{1}{2}lg5+lg7$

原式=$\frac{5}{2}lg2-lg7-2lg2+\frac{1}{2}lg5+lg7=\frac{1}{2}lg2+\frac{1}{2}lg5=\frac{1}{2}{(lg2+lg5)}=\frac{1}{2}$

Route-nice

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